$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=2 \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=2\sin t.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Temos uma EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • O lado direito é a função não homogênea 2\sin t.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(t) (a solução homogênea mais uma solução particular).
  • Não há condições iniciais; portanto a resposta será a família de soluções com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=0.
Explicação rápida do método: para EDO lineares de coeficientes constantes tentamos solução do tipo y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico cuja raiz r determina as soluções exponenciais.

Passo 3

Formamos o polinômio característico:
r^{3}-r=0.
Fatorando:
r(r^{2}-1)=r(r-1)(r+1)=0.
Logo as raízes são r=0, r=1 e r=-1.

Passo 4

Cada raiz distinta gera uma solução independente da homogênea. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}+C_{2}e^{t}+C_{3}e^{-t},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias. (Observação: a raiz r=0 dá a solução constante e^{0t}=1.)

Passo 5

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=2\sin t.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Por que essa escolha? Porque o termo do lado direito é uma combinação linear de \sin t e \cos t, então é natural tentar uma solução particular da forma
y_{p}(t)=A\cos t + B\sin t,
com A e B constantes a determinar. Antes de usar esse palpite, verificamos se \pm i são raízes do polinômio característico (caso fossem, teríamos que multiplicar o palpite por t); aqui as raízes foram 0,1,-1, portanto \pm i não aparecem e o palpite acima é adequado.

Passo 6

Calculemos as derivadas de y_{p} passo a passo:
y_{p}=A\cos t + B\sin t,
y_{p}^{\prime}=-A\sin t + B\cos t,
y_{p}^{\prime\prime}=-A\cos t - B\sin t,
y_{p}^{\prime\prime\prime}=A\sin t - B\cos t.
(Expliquei cada derivação: derivada de \cos t é -\sin t, derivada de \sin t é \cos t; aplicando três vezes obtemos as expressões acima.)

Passo 7

Substituímos y_{p}^{\prime\prime\prime} e y_{p}^{\prime} na expressão da equação:
y_{p}^{\prime\prime\prime}-y_{p}^{\prime} = (A\sin t - B\cos t) - (-A\sin t + B\cos t).
Agora simplificamos termo a termo:
y_{p}^{\prime\prime\prime}-y_{p}^{\prime} = A\sin t - B\cos t + A\sin t - B\cos t = 2A\sin t - 2B\cos t.

Passo 8

Impondo que essa expressão seja igual ao lado direito 2\sin t, obtemos a identidade trigonométrica:
2A\sin t - 2B\cos t = 2\sin t.
Igualando coeficientes de \sin t e \cos t (método padrão quando temos igualdade para todo t):
  • Coeficiente de \sin t: 2A = 2 \Rightarrow A=1.
  • Coeficiente de \cos t: -2B = 0 \Rightarrow B=0.

Passo 9

Portanto uma solução particular é
y_{p}(t)=\cos t.
Podemos checar rapidamente: computando y_{p}^{\prime\prime\prime}-y_{p}^{\prime} com y_{p}=\cos t 2\sin t, confirmando que está correto.

Passo 10

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Vou deixar a combinação final apenas na seção de resposta, para ficar mais claro e direto.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}e^{t}+C_{3}e^{-t}+\cos t

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