$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=2 \operatorname{sen} t
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Temos uma EDO linear de ordem
com coeficientes constantes. - O lado direito é a função não homogênea
. - Precisamos encontrar a solução geral
(a solução homogênea mais uma solução particular). - Não há condições iniciais; portanto a resposta será a família de soluções com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
Explicação rápida do método: para EDO lineares de coeficientes constantes tentamos solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico cuja raiz
determina as soluções exponenciais.
Passo 3
Formamos o polinômio característico:
Fatorando:
Logo as raízes são
,
e
.
Passo 4
Cada raiz distinta gera uma solução independente da homogênea. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. (Observação: a raiz
dá a solução constante
.)
Passo 5
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Por que essa escolha? Porque o termo do lado direito é uma combinação linear de
e
, então é natural tentar uma solução particular da forma
com
e
constantes a determinar. Antes de usar esse palpite, verificamos se
são raízes do polinômio característico (caso fossem, teríamos que multiplicar o palpite por
); aqui as raízes foram
, portanto
não aparecem e o palpite acima é adequado.
Passo 6
Calculemos as derivadas de
passo a passo:
(Expliquei cada derivação: derivada de
é
, derivada de
é
; aplicando três vezes obtemos as expressões acima.)
Passo 7
Substituímos
e
na expressão da equação:
Agora simplificamos termo a termo:
Passo 8
Impondo que essa expressão seja igual ao lado direito
, obtemos a identidade trigonométrica:
Igualando coeficientes de
e
(método padrão quando temos igualdade para todo
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Passo 9
Portanto uma solução particular é
Podemos checar rapidamente: computando
com
dá
, confirmando que está correto.
Passo 10
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Vou deixar a combinação final apenas na seção de resposta, para ficar mais claro e direto.