Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
g(t)=\left\{\begin{array}{lll}1, & \text { se } & 0 \leq t<\pi \\\\ 0, & \text { se } & \pi \leq t<\infty\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em “escada” definida por
g(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t < \pi,\\\\ 0, & \pi \le t < \infty, \end{cases}
ou seja, conteúdo de transformada de Laplace usando a definição \displaystyle \mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty}g(t)e^{-st}\,dt.

Passo 2

Pela definição de transformada de Laplace temos
\mathcal{L}\{g(t)\} =\int_{0}^{\infty}g(t)e^{-st}\,dt.
Como g(t) é peça–por–peça, vamos dividir a integral nos intervalos em que g(t) vale 1 e 0.

Passo 3

No intervalo 0\le t<\pi, g(t)=1. No intervalo \pi\le t<\infty, g(t)=0. Logo
\mathcal{L}\{g(t)\} =\int_{0}^{\pi}1\cdot e^{-st}\,dt +\int_{\pi}^{\infty}0\cdot e^{-st}\,dt.
A segunda integral é zero, sobrando apenas a primeira.

Passo 4

Calculemos
\int_{0}^{\pi}e^{-st}\,dt.
Usando a antiderivada de e^{-st}, que é -\tfrac{1}{s}e^{-st}, obtemos
\int_{0}^{\pi}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{\pi} =-\frac{1}{s}e^{-s\pi}-\Bigl(-\frac{1}{s}e^{0}\Bigr) =\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-s\pi}\bigr).

Resposta

\mathcal{L}\{g(t)\} =\frac{1 - e^{-s\pi}}{s}.

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