Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
Informações relevantes dadas:
Não há outras condições extras no enunciado.
Passo 2
Vou lembrar a definição e uma propriedade básica que vou usar muito (mas sem entrar em jargões técnicos demais):
Propriedade de linearidade (super útil): para quaisquer constantes
e funções
,
Isso significa que posso transformar cada termo separado e somar os resultados.
Passo 3
Transformada de
.
Primeiro, escrevemos em termos de exponenciais:
Primeiro, escrevemos
logo
Aplicando linearidade:
Usamos a fórmula padrão
(válida para
). Assim,
Agora fazemos a subtração com cuidado:
Observação sobre convergência: como aparece
no desenvolvimento, precisamos de
para que a integral convirja.
Passo 4
Transformada de
.
Lembramos a fórmula padrão (muito usada em prova):
Lembramos a fórmula padrão (muito usada em prova):
válida para
.
Aqui , então
Aqui
Multiplicando pelo fator
,
(Dica rápida:
.)
Passo 5
Transformada de
.
Usando novamente com
, obtemos
Usando novamente
válido para
.
Passo 6
Agora juntamos tudo pela linearidade: a transformada da soma é a soma das transformadas.
Portanto
Portanto
Região de convergência: a interseção das condições obtidas é
(porque foi a mais restritiva).