Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
\mathscr{L}\left\{\operatorname{senh}(5 t)+2 t^{6}+e^{-3 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
\operatorname{senh}(5t)+2t^{6}+e^{-3t}.
Informações relevantes dadas:
\text{função} = \operatorname{senh}(5t) + 2t^{6} + e^{-3t}.çã
Não há outras condições extras no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar a definição e uma propriedade básica que vou usar muito (mas sem entrar em jargões técnicos demais):
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Propriedade de linearidade (super útil): para quaisquer constantes a,b e funções f,g,
\mathscr{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathscr{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathscr{L}\{g(t)\}(s).
Isso significa que posso transformar cada termo separado e somar os resultados.

Passo 3

Transformada de \operatorname{senh}(5t).
Primeiro, escrevemos \operatorname{senh} em termos de exponenciais:
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},
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\operatorname{senh}(5t)=\frac{e^{5t}-e^{-5t}}{2}.
Aplicando linearidade:
\mathscr{L}\{\operatorname{senh}(5t)\}(s)=\frac{1}{2}\Big(\mathscr{L}\{e^{5t}\}(s)-\mathscr{L}\{e^{-5t}\}(s)\Big).
Usamos a fórmula padrão \mathscr{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} (válida para \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)). Assim,
\mathscr{L}\{\operatorname{senh}(5t)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-5}-\frac{1}{s+5}\right).
Agora fazemos a subtração com cuidado:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-5}-\frac{1}{s+5}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+5)-(s-5)}{(s-5)(s+5)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{s^{2}-25}=\frac{5}{s^{2}-25}.
Observação sobre convergência: como aparece e^{5t} no desenvolvimento, precisamos de \operatorname{Re}(s)>5 para que a integral convirja.

Passo 4

Transformada de 2t^{6}.
Lembramos a fórmula padrão (muito usada em prova):
\mathscr{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}},\qquad n\in\{0,1,2,\dots\},
válida para \operatorname{Re}(s)>0.
Aqui n=6, então
\mathscr{L}\{t^{6}\}(s)=\frac{6!}{s^{7}}=\frac{720}{s^{7}}.
Multiplicando pelo fator 2,
\mathscr{L}\{2t^{6}\}(s)=2\cdot\frac{720}{s^{7}}=\frac{1440}{s^{7}}.
(Dica rápida: 6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720.)

Passo 5

Transformada de e^{-3t}.
Usando novamente \mathscr{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} com a=-3, obtemos
\mathscr{L}\{e^{-3t}\}(s)=\frac{1}{s-(-3)}=\frac{1}{s+3},
válido para \operatorname{Re}(s)>-3.

Passo 6

Agora juntamos tudo pela linearidade: a transformada da soma é a soma das transformadas.
Portanto
\mathscr{L}\{\operatorname{senh}(5t)+2t^{6}+e^{-3t}\}(s) =\frac{5}{s^{2}-25}+\frac{1440}{s^{7}}+\frac{1}{s+3}.
Região de convergência: a interseção das condições obtidas é \operatorname{Re}(s)>5 (porque foi a mais restritiva).

Resposta

\frac{5}{s^{2}-25}+\frac{1440}{s^{7}}+\frac{1}{s+3}

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