Equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com forçamento composto por \cos t e um impulso \delta(t-\tfrac{\pi}{2}).
Condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=0.
Objetivo: achar y(t) para t\ge0 usando a transformada de Laplace (isto implica aplicar a transformada, resolver em s, e fazer a transformada inversa).
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Antes, relembre as fórmulas essenciais (aulas rápidas):
Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui temos y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica muito as fórmulas: \mathcal{L}\{y'\}=sY e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y.
Agora aplicamos \mathcal{L} na equação:
Calculamos as transformadas do lado direito (fórmulas padrão):
\mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^2+1}.
Para o impulso deslocado vale a propriedade conhecida: \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-a s}. Aqui a=\dfrac{\pi}{2}, logo \mathcal{L}\{\delta(t-\tfrac{\pi}{2})\}=e^{-(\pi/2)s}.
Observação útil: s^2+2s+2=(s+1)^2+1. Vamos inverter a transformada de cada parcela: a primeira parcela é a contribuição da entrada \cos t; a segunda vem do impulso (e envolverá a propriedade de deslocamento na inversa).
Passo 5
Tratamos a primeira parcela por frações parciais:
Queremos decompor