Determine a transformada Z inversa utilizando o método da expansão em frações parciais.
X(z)=\frac{z^{-1}-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}} \quad|z|>\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
X(z)=\frac{z^{-1}-\tfrac12}{1-\tfrac12\,z^{-1}} \quad\bigl|z\bigr|>\tfrac12
usando expansão em frações parciais. O conteúdo aqui é a inversão da Z-transformada de uma função racional em z^{-1}, e vamos precisar reescrever X(z) como soma de termos cujas inversas conhecemos.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por z para passar a uma razão em z:
X(z) = \frac{z^{-1}-\tfrac12}{1-\tfrac12\,z^{-1}} = \frac{\;1-\tfrac12\,z\;}{\;z-\tfrac12\;}\,.

Passo 3

Fazemos a divisão polinomial de \;1-\tfrac12\,z\; por \;z-\tfrac12\;. Escrevemos
1-\tfrac12\,z = Q\,(z-\tfrac12)+R.
Testando Q=-\tfrac12
-\tfrac12\,(z-\tfrac12)=-\tfrac12\,z+\tfrac14,
e para ajustar ao numerador 1-\tfrac12\,z precisamos de resto R=1-\tfrac14=\tfrac34. Logo
X(z) = -\tfrac12 + \frac{\tfrac34}{\,z-\tfrac12\,} = -\tfrac12 + \frac{3/4}{z-\tfrac12}.

Passo 4

Agora separamos em termos cuja inversa é conhecida:
  1. O termo -\tfrac12 corresponde a -\tfrac12\,\delta[n].
  2. Para \displaystyle \frac{3/4}{z-\tfrac12} usamos
\frac1{z-\tfrac12} = \frac{z^{-1}}{1-\tfrac12\,z^{-1}} = \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^k z^{-(k+1)}, \quad |z|>\tfrac12,
então
\frac{3/4}{z-\tfrac12} = \frac{3}{4}\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^k z^{-(k+1)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}z^{-n}.
Isso gera o termo causal
\;x[n]=\tfrac{3}{4}\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,n-1}u[n-1] para n\ge1.

Resposta

x[n] = -\tfrac12\,\delta[n] + \tfrac{3}{4}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}u[n-1].

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