Determine a transformada Z inversa utilizando o método da expansão em frações parciais.
X(z)=\frac{z^{-1}-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}} \quad|z|<\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
X(z)=\frac{z^{-1}-\tfrac12}{1-\tfrac12\,z^{-1}}
para a região de convergência |z|<\tfrac12.
O método será decompor em frações parciais e depois obter a série de potências em z válida para |z|<\tfrac12.

Passo 2

Primeiro escrevemos X(z) como uma função racional em z. Multiplicando numerador e denominador por z,
X(z) =\frac{1-\tfrac z2}{z-\tfrac12} =\frac{1-\tfrac z2}{z-\tfrac12}\,.

Passo 3

Fazemos a divisão polinomial (grau 1 sobre grau 1) em z. Escrevemos
\frac{1-\tfrac z2}{\,z-\tfrac12\,} =\frac{-\tfrac z2+1}{z-\tfrac12} =\frac{z-2}{1-2z}\quad\text{(multiplicando numerador e denominador por \(-2\)).}
Agora dividimos z-2 por 1-2z:
z-2 = -\tfrac12\,(1-2z) + \bigl(-\tfrac32\bigr),
logo
\frac{z-2}{1-2z} =-\tfrac12 \;+\;\frac{-\tfrac32}{1-2z} =-\tfrac12 \;+\;\frac{3/2}{2z-1}\,.
Portanto
X(z)=-\tfrac12+\frac{3/2}{2z-1}\,.

Passo 4

Para |z|<\tfrac12 temos |2z|<1, e
\frac{1}{2z-1} =-\frac{1}{1-2z} =-\sum_{m=0}^{\infty}(2z)^m =-\sum_{m=0}^{\infty}2^m\,z^m.
Multiplicando por 3/2 e somando o termo -\tfrac12,
X(z) =-\tfrac12 \;+\;\frac{3/2}{2z-1} =-\tfrac12 \;-\;\frac{3}{2}\sum_{m=0}^{\infty}2^m z^m =-\tfrac12 \;-\;3\sum_{m=1}^{\infty}2^{\,m-1}z^m.

Passo 5

Como X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,z^{-n}, o termo em z^m corresponde a n=-m. Assim:
  • O termo em z^0 é -\tfrac12, logo x[0]=-\,\tfrac12.
  • Para m\ge1, o coeficiente de z^m é -3\cdot2^{m-1}, então
x[-m] \;=\;-3\cdot2^{\,m-1},\quad m\ge1,
e x[n]=0 para n>0.

Resposta

x[n]= \begin{cases} -\,\tfrac12, & n=0,\\[6pt] -\,3\cdot2^{-n-1}, & n\le -1,\\[4pt] 0,& n\ge1. \end{cases}]

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