Utilizando as propriedades da transformada Z, encontre a função H(z)=Y(z) / X(z) para o sistema LIT causal com a seguinte equação de diferenças:
y[n]-\frac{1}{2} y[n-1]+\frac{1}{4} y[n-2]=x[n]
Determine também a região de convergência da função H(z).

Passo 1

O enunciado dá a equação de diferenças de um sistema LIT causal
y[n]-\tfrac12\,y[n-1]+\tfrac14\,y[n-2]=x[n]
e pede a função de transferência
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}
e sua região de convergência (ROC).
O conteúdo principal é usar propriedades da transformada Z (linearidade e deslocamento de tempo) assumindo condições iniciais nulas.

Passo 2

Aplicamos a transformada Z em cada termo, lembrando que para condições iniciais nulas vale
\mathcal{Z}\{y[n-k]\}=z^{-k}Y(z) \quad,\quad \mathcal{Z}\{x[n]\}=X(z).
Logo, transformando a equação de diferenças:
Y(z)-\tfrac12\,z^{-1}Y(z)+\tfrac14\,z^{-2}Y(z)=X(z).

Passo 3

Colocamos Y(z) em evidência no lado esquerdo:
Y(z)\Bigl(1-\tfrac12\,z^{-1}+\tfrac14\,z^{-2}\Bigr)=X(z).
Dividindo por esse polinômio obtemos
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{1}{1-\tfrac12\,z^{-1}+\tfrac14\,z^{-2}}.
Se multiplicarmos numerador e denominador por z^2, fica
H(z)=\frac{z^2}{z^2-\tfrac12\,z+ \tfrac14}.
Para achar os polos, resolvemos
z^2-\tfrac12\,z+\tfrac14=0 \;\Longrightarrow\; z=\frac{\tfrac12\pm\jmath\,\tfrac{\sqrt3}{2}}{2} =\tfrac14\pm\jmath\,\tfrac{\sqrt3}{4},
cuja magnitude é
\bigl|\tfrac14\pm\jmath\,\tfrac{\sqrt3}{4}\bigr| =\sqrt{\tfrac1{16}+\tfrac3{16}} =\tfrac12.

Passo 4

Como o sistema é causal, a ROC é a região exterior ao círculo que passa pelos polos de raio \tfrac12.
Portanto a ROC é
|z|>\tfrac12.

Resposta

H(z)=\frac{1}{1-\tfrac12\,z^{-1}+\tfrac14\,z^{-2}} \quad,\quad \text{ROC: }|z|>\tfrac12.

Exercícios relacionados