Utilizando as propriedades da transformada Z, encontre a função H(z)=Y(z) / X(z) para o sistema LIT causal com a seguinte equação de diferenças:
y[n]-\frac{1}{2} y[n-1]+\frac{1}{4} y[n-2]=x[n]
Determine também a região de convergência da função H(z).
Passo 1
O enunciado dá a equação de diferenças de um sistema LIT causal
y[n]-\tfrac12\,y[n-1]+\tfrac14\,y[n-2]=x[n]
e pede a função de transferência
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}
e sua região de convergência (ROC).
O conteúdo principal é usar propriedades da transformada Z (linearidade e deslocamento de tempo) assumindo condições iniciais nulas.
Passo 2
Aplicamos a transformada Z em cada termo, lembrando que para condições iniciais nulas vale