Questão 2: Dada a função: f(x, y)=4-x^{2}-y^{2}, esboce o gráfico. Para isso, determine o dominio, a imagem e faça a projeção nos planos coordenados. Lembre-se de descrever em palavras o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x,y)=4 - x^2 - y^2
e pede para esboçarmos o gráfico dessa função de duas variáveis. O conteúdo aqui é o reconhecimento de um parabolóide elíptico (voltado para baixo). Para isso vamos determinar o domínio, a imagem, as projeções ortogonais do gráfico nos três planos coordenados e, por fim, descrever o formato em palavras.

Passo 2

O domínio de f é o conjunto de todos os pares (x,y) em que a fórmula faz sentido. Como não há divisão por zero nem raiz de número negativo, temos simplesmente
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^2.

Passo 3

A imagem de f é o conjunto dos valores possíveis de z=f(x,y). Note que
z=4 - x^2 - y^2
atinge seu máximo quando x=0 e y=0, dando z=4. À medida que \lvert x\rvert ou \lvert y\rvert crescem, z\to-\infty. Logo
\text{Im}(f)=(-\infty,\,4].

Passo 4

Projeção no plano xy: basta «abanar» o gráfico na direção z. Isso recobre todo o plano xy. Em coordenadas:
\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Projeção no plano xz: fixamos y=0 e vemos a curva
z=4 - x^2
no plano xz.
Projeção no plano yz: fixamos x=0 e vemos a curva
z=4 - y^2
no plano yz.

Passo 6

Em palavras, o gráfico é um parabolóide elíptico voltado para baixo, com ápice no ponto (0,0,4). As seções transversais paralelas ao plano xy são círculos de raio \sqrt{4 - z}; as seções pelos planos xz e yz são parábolas invertidas z=4 - x^2 e z=4 - y^2, respectivamente.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2.
Imagem: (-\infty,4].
Projeção em xy: todo \mathbb{R}^2.
Projeção em xz: parábola z=4 - x^2.
Projeção em yz: parábola z=4 - y^2.
Descrição: parabolóide elíptico voltado para baixo, ápice em (0,0,4).

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