Questão 2: Dada a função:
, esboce o gráfico. Para isso, determine o dominio, a imagem e faça a projeção nos planos coordenados. Lembre-se de descrever em palavras o seu gráfico.
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede para esboçarmos o gráfico dessa função de duas variáveis. O conteúdo aqui é o reconhecimento de um parabolóide elíptico (voltado para baixo). Para isso vamos determinar o domínio, a imagem, as projeções ortogonais do gráfico nos três planos coordenados e, por fim, descrever o formato em palavras.
Passo 2
O domínio de
é o conjunto de todos os pares
em que a fórmula faz sentido. Como não há divisão por zero nem raiz de número negativo, temos simplesmente
Passo 3
A imagem de
é o conjunto dos valores possíveis de
. Note que
atinge seu máximo quando
e
, dando
. À medida que
ou
crescem,
. Logo
Passo 4
Projeção no plano
: basta «abanar» o gráfico na direção
. Isso recobre todo o plano
. Em coordenadas:
Passo 5
Projeção no plano
: fixamos
e vemos a curva
no plano
.
Projeção no plano : fixamos
e vemos a curva
Projeção no plano
no plano
.
Passo 6
Em palavras, o gráfico é um parabolóide elíptico voltado para baixo, com ápice no ponto
. As seções transversais paralelas ao plano
são círculos de raio
; as seções pelos planos
e
são parábolas invertidas
e
, respectivamente.
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Projeção em : todo
.
Projeção em : parábola
.
Projeção em : parábola
.
Descrição: parabolóide elíptico voltado para baixo, ápice em .
Imagem:
Projeção em
Projeção em
Projeção em
Descrição: parabolóide elíptico voltado para baixo, ápice em