Determine as Transformadas de Fourier \mathcal{F}\left(t^{2} f(t)\right) e \mathcal{F}\left(f^{\prime \prime}(t)\right) em termos de \mathcal{F}(f).

Passo 1

O enunciado pede para usar propriedades da transformada de Fourier para achar
\mathcal{F}\bigl(t^{2}f(t)\bigr) e \mathcal{F}\bigl(f''(t)\bigr) em função de \mathcal{F}(f)=\widehat f(\omega). O conteúdo aqui são as propriedades de multiplicação por t (que vira derivada em \omega) e de derivação em t (que vira multiplicação por i\omega).

Passo 2

Começamos pela propriedade de multiplicação por t. Pela definição
\widehat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
temos
\frac{d}{d\omega}\widehat f(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,\frac{d}{d\omega}\bigl(e^{-i\omega t}\bigr)\,dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)(-i\,t)\,e^{-i\omega t}\,dt =-i\,\mathcal{F}\bigl(t\,f(t)\bigr).
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\mathcal{F}\bigl(t\,f(t)\bigr) =i\,\frac{d}{d\omega}\widehat f(\omega).

Passo 3

Para t^{2}f(t) aplicamos essa propriedade duas vezes. Chamando \widehat f'=\tfrac{d}{d\omega}\widehat f e \widehat f''=\tfrac{d^{2}}{d\omega^{2}}\widehat f,
\mathcal{F}\bigl(t^{2}f(t)\bigr) =\mathcal{F}\bigl(t\cdot (t\,f(t))\bigr) =i\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{F}\bigl(t\,f(t)\bigr) =i\,\frac{d}{d\omega}\Bigl(i\,\widehat f'(\omega)\Bigr) =i^{2}\,\widehat f''(\omega) =-\,\widehat f''(\omega).

Passo 4

Agora a propriedade de derivada em t. Fazendo integração por partes em
\mathcal{F}\bigl(f'(t)\bigr) =\int_{-\infty}^{\infty}f'(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
e supondo f(t)\,e^{-i\omega t}\to0 nas bordas, obtemos
\mathcal{F}\bigl(f'(t)\bigr) =\bigl[f(t)e^{-i\omega t}\bigr]_{-\infty}^{\infty} -(-i\omega)\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt =i\omega\,\widehat f(\omega).
Repetindo para f'':
\mathcal{F}\bigl(f''(t)\bigr) =\mathcal{F}\bigl((f')'(t)\bigr) =i\omega\,\mathcal{F}\bigl(f'(t)\bigr) =(i\omega)^{2}\,\widehat f(\omega) =-\omega^{2}\,\widehat f(\omega).

Resposta

\mathcal{F}\bigl(t^{2}f(t)\bigr) = -\frac{d^{2}}{d\omega^{2}}\widehat{f}(\omega)\n \mathcal{F}\bigl(f''(t)\bigr) = -\omega^{2} \, \widehat{f}(\omega)

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