A função f(t)=\cos (2 t)+\cos (3 t) é periódica? Qual o menor período de f(t) ?

Passo 1

O enunciado apresenta a função
\;f(t)=\cos(2t)+\cos(3t)
e pergunta se ela é periódica e, em caso afirmativo, qual o seu menor período. O conteúdo envolvido é soma de funções periódicas e busca de período comum (mínimo múltiplo comum dos períodos individuais).

Passo 2

Cada termo é periódico:
– Para \cos(2t), o período fundamental T_1 satisfaz
T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi.
– Para \cos(3t), o período fundamental T_2 satisfaz
T_2=\frac{2\pi}{3}.

Passo 3

A soma de funções periódicas é periódica se existir T>0 tal que
T=k\,T_1 \quad\text{e}\quad T=m\,T_2
para inteiros positivos k,m. Isso dá
k\,\pi = m\,\frac{2\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{k}{m}=\frac{2}{3}.
Os menores inteiros que satisfazem isso são k=2 e m=3.

Passo 4

Substituindo k=2 em T=k\,T_1 obtemos
T=2\pi.
Esse é o menor valor que é múltiplo de \pi e de \tfrac{2\pi}{3}, portanto é o menor período comum.

Resposta

A função f(t) é periódica e seu menor período é 2\pi.

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