Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e informa a solução particular
. Para resolver precisamos transformar em uma equação linear de primeira ordem usando a substituição padrão de Riccati.
Passo 2
Definimos
Substituindo na equação original e usando que
satisfaz
,
obtém-se para a equação de Bernoulli
obtém-se para
Fazendo a nova troca
temos
logo a equação vira
que simplifica para a linear
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a ODE por
e integrando:
Portanto
Passo 4
Voltando à variável original
logo a solução geral é
que pode ser reescrita em forma mais compacta como