Verifique que
integral x3 x^2+2 d x=16 ln (3 x^2+2)+c

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de x3x^2 + 2 em relação a x. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente integrando funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para o denominador 3x^2 + 2, percebemos que a derivada disso está relacionada com o numerador x. Então, vamos definir:
u = 3x^2 + 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Calculando:
dudx = 6x Rightarrow du = 6x , dx
Isso nos mostra que 6x , dx é igual a du. Queremos expressar x , dx, então vamos rearranjar:
x , dx = du6

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x3x^2 + 2 , dx = integral 1u cdot du6 = 16 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u. Então, continuando:
16 integral 1u , du = 16 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
16 ln|3x^2 + 2| + C
Como 3x^2 + 2 é sempre positivo, podemos simplificar para:
16 ln(3x^2 + 2) + C

Resposta

A integral de x3x^2 + 2 , dx é igual a 16 ln(3x^2 + 2) + C.

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