Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
2 s+1(s-1)^2+7

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=2s+1(s-1)^2+7,
isto é, encontrar f(x) tal que Lf(x)=F(s). Para isso vamos usar o Teorema do deslocamento exponencial e as fórmulas conhecidas
Le^axcos(bx)=s-a(s-a)^2+b^2 e
Le^axsin(bx)=b(s-a)^2+b^2.

Passo 2

Vamos escrever o numerador de modo a separar as partes que cabem nas fórmulas padrão. Note que
2s+1 = 2(s-1) + 3
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2s+1(s-1)^2+7 =2(s-1)(s-1)^2+7 ;+;3(s-1)^2+7

Passo 3

Compare com as fórmulas de transformada de e^axcos(bx) e e^axsin(bx), tomando a=1 e b=raiz7.
Para a primeira parcela
2(s-1)(s-1)^2+7
a transformada inversa é
2,e^xcosl(raiz7,xr)
Para a segunda parcela
3(s-1)^2+7
lembrando que
Le^axsin(bx)=b(s-a)^2+b^2,
a inversa fica
3raiz7,e^xsinl(raiz7,xr)

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
f(x) =2,e^xcosl(raiz7,xr) +3raiz7,e^xsinl(raiz7,xr) = e^xl(2cos(raiz7x)+tfrac3raiz7sin(raiz7x)r)

Resposta

f(x)=e^xl(2cos(raiz7x)+tfrac3raiz7sin(raiz7x)r)

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