Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
ss^2-s+17 / 4

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=ss^2-s+tfrac174
isto é, encontrar f(x) tal que Lf(x)=F(s). Vamos usar linearidade e os pares usuais
Le^axcos(bx)=(s-a)/l((s-a)^2+b^2r) e
Le^axsin(bx)=b/l((s-a)^2+b^2r).

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
s^2-s+tfrac174 =s^2-s+tfrac14+4 =(s-tfrac12)^2+2^2

Passo 3

Reescrever o numerador em função de s-tfrac12:
s = l(s-tfrac12r)+tfrac12 Longrightarrow F(s) =s-tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2 +tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2

Passo 4

Cada parcela inverte-se por um par conhecido:
1. s-tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2
inverte em e^x/2cos(2x).
2. tfrac12(s-tfrac12)^2+2^2 =12cdot1(s-tfrac12)^2+2^2 =14,2(s-tfrac12)^2+2^2
inverte em tfrac14e^x/2sin(2x).
Somando os resultados,
f(x)=e^x/2cos(2x)+14,e^x/2sin(2x)

Resposta

f(x)=e^x/2cos(2x)+14,e^x/2sin(2x)

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