Use o método de substituição para determinar as seguintes integrais
integral raizt sec ^2(raizt^3) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raizt,sec^2l(raizt^3r),dt
usando o método de substituição. Vamos identificar uma expressão interna cuja derivada apareça multiplicando a função.

Passo 2

Note que
raizt^3 = t^3/2
Fazendo a substituição
u = t^3/2,
temos
dudt = 32,t^1/2 Longrightarrow du = 32,raizt,dt Longrightarrow raizt,dt = 23,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral raizt,sec^2l(raizt^3r),dt = integral sec^2(u),23,du = 23integral sec^2(u),du
Como sabemos que
integral sec^2(u),du = tan(u) + C,
segue
23integral sec^2(u),du = 23,tan(u) + C

Passo 4

Volta para a variável t usando u = t^3/2. Assim, a antiderivada é
23,tanl(t^3/2r) + C

Resposta

23,tanl(t^3/2r) + C

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