Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
2 s^2(s-1)(s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
2 s^2(s-1),(s^2+1)
como função de x. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e uso de transformadas inversas básicas (tabela de e^ax, cos x e sin x).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
2 s^2(s-1)(s^2+1)=As-1+B,s+Cs^2+1
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s^2+1), obtemos
2s^2=A,(s^2+1)+(B,s+C),(s-1)
Expandindo o segundo termo:
2s^2=A,s^2+A + B,s^2-B,s + C,s - C =(A+B),s^2+(C-B),s+(A-C)

Passo 3

Comparando coeficientes em cada potência de
Isso gera o sistema
Da segunda e terceira equações vem , logo . Substituindo em , portanto

Passo 4

Substituindo os valores na decomposição, fica
2 s^2(s-1)(s^2+1)=1s-1+s+1s^2+1
Agora aplicamos transformadas inversas conhecidas:
  • L^-1!ltfrac1s-1r(x)=e^x.
  • L^-1!ltfracss^2+1r(x)=cos x.
  • L^-1!ltfrac1s^2+1r(x)=sin x.

Resposta

f(x)=e^x+cos x+sin x

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