Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
2(s^2+1)(s-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de tfrac2(s^2+1)(s-1)^2. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e o uso das transformadas inversas padrão, como L^-11/(s-1)=e^x, L^-11/(s-1)^2=x e^x e L^-1s/(s^2+1)=cos x.

Passo 2

Propomos a decomposição
2(s-1)^2(s^2+1) =As-1+B(s-1)^2+Cs+Ds^2+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s-1)^2(s^2+1) obtemos
2=A(s-1)(s^2+1)+B(s^2+1)+(Cs+D)(s-1)^2
Expandindo e agrupando coeficientes dos termos em s^3,s^2,s,1 gera o sistema
A+C=0, -A+B-2C+D=0, A+C-2D=0, -A+B+D=2

Passo 4

Da primeira equação C=-A. Substituindo na terceira vem D=0. Na segunda obtemos B=-A e na quarta -2A=2 leva a A=-1. Logo
A=-1, B=1, C=1, D=0

Passo 5

Com esses valores,
2(s^2+1)(s-1)^2 =-1s-1+1(s-1)^2+ss^2+1
Aplicando a transformada inversa:
L^-1l(-tfrac1s-1r)=-e^x, L^-1l(tfrac1(s-1)^2r)=x e^x, L^-1l(tfracss^2+1r)=cos x
Somando resulta
f(x)=x e^x-e^x+cos x

Resposta

x e^x - e^x + cos x

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