Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
12+15 raizss^4

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=12+15raizss^4,
ou seja, encontrar f(x) tal que Lf(x)=F(s). Vamos usar a propriedade
L^-1s^-alpha(x)=x^alpha-1Gamma(alpha)

Passo 2

Primeiro, separamos F(s) em duas parcelas de potências de s:
12+15raizss^4 =12,s^-4+15,s^-4+tfrac12 =12,s^-4+15,s^-7/2

Passo 3

Aplicamos a fórmula para alpha=4 na primeira parcela:
L^-112,s^-4 =12;x^4-1Gamma(4) =12;x^33! =12;x^36 =2x^3

Passo 4

Para a segunda parcela, usamos alpha=tfrac72. Primeiro calculamos
Gammal(tfrac72r) =tfrac52cdottfrac32cdottfrac12,Gammal(tfrac12r) =tfrac158raizpi
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L^-115,s^-7/2 =15;x^tfrac72-1Gamma(tfrac72) =15;x^5/2tfrac158raizpi =8raizpi,x^5/2

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
f(x)=2x^3+8raizpi,x^5/2

Resposta

f(x)=2x^3+8raizpi,x^5/2

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