Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
2 s-13s(s^2-4 s+13)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=2s-13sl(s^2-4s+13r)
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e uso das fórmulas básicas
L^-1tfrac1s=1 e
L^-1tfracs-a(s-a)^2+b^2=e^axcos(bx).

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador
s^2-4s+13=(s-2)^2+9
Assim podemos escrever
F(s)=2s-13sl((s-2)^2+9r)

Passo 3

Fazemos a decomposição
2s-13sl((s-2)^2+9r) =As+Bs+C(s-2)^2+9
Multiplicando tudo por sl((s-2)^2+9r) obtém-se
2s-13 =Al((s-2)^2+9r)+(Bs+C),s

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes de s^2, s e termo constante, vem
A=-1, B=1, C=-2
Logo
F(s)=-1s+s-2(s-2)^2+9

Passo 5

Usamos agora as transformadas inversas conhecidas:
L^-1ltfrac1sr=1, L^-1ltfracs-2(s-2)^2+3^2r =e^2xcos(3x)
Portanto
f(x)=L^-1F(s) =-1 + e^2xcos(3x)

Resposta

f(x)=e^2xcos(3x);-;1

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