Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
2(s-1)s^2-s+1

Passo 1

O problema pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=2(s-1)s^2-s+1,
isto é, encontrar f(x) tal que Lf(x)(s)=F(s). O conteúdo principal envolve completar o quadrado no denominador e usar as transformadas usuais
Le^axcos(bx)(s)=s-a(s-a)^2+b^2, Le^axsin(bx)(s)=b(s-a)^2+b^2

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
s^2-s+1 = l(s-tfrac12r)^2 + 1 - tfrac14 = l(s-tfrac12r)^2 + tfrac34 = l(s-tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2

Passo 3

Reescrevemos o numerador 2(s-1) em função de s-tfrac12:
2(s-1) = 2l((s-tfrac12)-tfrac12r) = 2(s-tfrac12) - 1
Logo
F(s) = 2(s-tfrac12)-1(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 = 2(s-tfrac12)(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 ;-; 1(s-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2

Passo 4

Agora usamos as fórmulas padrão com a=tfrac12 e b=tfracraiz32:
  • Primeiro termo:
2(s-tfrac12)(s-tfrac12)^2+b^2 = 2;Le^x/2cos(bx)(s) ;Longrightarrow;2,e^x/2cos!l(tfracraiz32xr)
  • Segundo termo:
1(s-tfrac12)^2+b^2 = 1b;Le^x/2sin(bx)(s) ;Longrightarrow;1b,e^x/2sin!l(tfracraiz32xr) = 2raiz3,e^x/2sin!l(tfracraiz32xr)
Observe o sinal menos do segundo termo.

Resposta

f(x) =2,e^x/2cos!l(tfracraiz32xr) ;-; 2raiz3,e^x/2sin!l(tfracraiz32xr)

Exercícios relacionados