Use o método de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral x^3raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3raizx^2+1,dx
usando o método de integração por partes. Esse método se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
onde escolhemos funções u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = xraizx^2+1,dx
Então
du = 2x,dx
e para encontrar v calculamos
v = integral xraizx^2+1,dx
Fazendo a substituição t = x^2+1, dt = 2x,dx, obtemos
v = integral xraizx^2+1,dx = integral 12dtraizt = integral 12t^-1/2,dt = raizt = raizx^2+1

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral x^3raizx^2+1,dx = integral u,dv = u,v - integral v,du = x^2raizx^2+1 ;-;integral raizx^2+1,(2x,dx)

Passo 4

Agora calculamos
integral 2x,raizx^2+1,dx
De novo com t=x^2+1, dt=2x,dx, fica
integral 2x,raizx^2+1,dx = integral raizt,dt = 23t^3/2 = 23(x^2+1)^3/2

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão de partes:
integral x^3raizx^2+1,dx = x^2raizx^2+1 - 23(x^2+1)^3/2 + C
Podemos ainda fatorar raizx^2+1:
x^2raizx^2+1 - 23(x^2+1)raizx^2+1 = 13(x^2-2),raizx^2+1

Resposta

integral x^3raizx^2+1,dx = 13,(x^2-2),raizx^2+1 + C

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