Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
s(s^2+9)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s) = s(s^2+9)^2
como função de x. O conteúdo principal aqui é usar a propriedade que relaciona multiplicação por x no domínio do tempo com derivada em s no domínio de Laplace:
Lx,f(x)(s) = -ddsl[F(s)r]

Passo 2

Vamos lembrar a transformada de Laplace de sin(ax):
Lsin(ax)(s)=as^2+a^2
Diferenciando ambos os lados em relação a s e usando a propriedade acima (com sinal negativo), obtemos a transformada de xsin(ax).

Passo 3

Calculemos
dds!l(as^2+a^2r) =-(2s),a(s^2+a^2)^2 =-2as(s^2+a^2)^2
Pelo lado do tempo,
-ddsl[Lsin(ax)(s)r] =Lxsin(ax)(s)
Logo
Lxsin(ax)(s) =2as(s^2+a^2)^2
Dessa forma isolamos
s(s^2+a^2)^2 =12a,Lxsin(ax)(s)

Passo 4

No nosso caso, a=3. Assim
s(s^2+9)^2 =12cdot3,Lxsin(3x)(s) =Llx6sin(3x)r(s)
Portanto, a transformada inversa de Laplace é

Resposta

f(x)=x6,sin(3x)

Exercícios relacionados