Use o método de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral t sec (t) tan (t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral t sec(t)tan(t),dt
usando o método de integração por partes. Esse método é baseado na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
onde escolhemos u e dv de modo que du e v sejam fáceis de obter.

Passo 2

Escolhemos
u = t e dv = sec(t)tan(t),dt

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dt,
e como sabemos que ddt[sec(t)] = sec(t)tan(t), temos
v = integral sec(t)tan(t),dt = sec(t)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t,sec(t)tan(t),dt = u,v - integral v,du = t,sec(t) - integral sec(t),dt

Passo 5

Basta agora usar a primitiva conhecida de sec(t):
integral sec(t),dt = lnl|sec(t)+tan(t)r| + C
Substituindo, obtemos
integral t,sec(t)tan(t),dt = t,sec(t) - lnl|sec(t)+tan(t)r| + C

Resposta

boxedintegral t,sec(t)tan(t),dt = t,sec(t) - lnl|sec(t)+tan(t)r| + C

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