Empregando a transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-3.

Passo 1

O problema é o PVI
y'' + 4y' + 4y = 0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-3,
e vamos usar a transformada de Laplace para convertê-lo numa equação algébrica em Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Calculamos as transformadas de cada termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-2s+3,
\mathcal{L}\{4y'\}=4\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)=4sY(s)-8,
\mathcal{L}\{4y\}=4Y(s).
Substituindo na EDO e igualando a zero, temos
\bigl(s^2Y(s)-2s+3\bigr)+\bigl(4sY(s)-8\bigr)+4Y(s)=0.

Passo 3

Reunindo termos em Y(s) e constantes, obtemos
(s^2+4s+4)\,Y(s)-2s-5=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{2s+5}{(s+2)^2}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações simples:
\frac{2s+5}{(s+2)^2} =\frac{2(s+2)+1}{(s+2)^2} = \frac{2}{s+2} + \frac{1}{(s+2)^2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{s+2}\Bigr\}=2e^{-2t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+2)^2}\Bigr\}=t\,e^{-2t}.
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y(t) = \bigl(2+t\bigr)e^{-2t}.

Resposta

y(t) = (2 + t)e^{-2t}.

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