Determine as Transformadas de Laplace de cos a theta, onde a e b representam constantes.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar a transformada de Laplace de cos(a,t), onde a é constante. O assunto aqui é Transformada de Laplace e vamos precisar usar a definição integral da transformada e técnicas de integração por partes para chegar no resultado.

Passo 2

A definição de Transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por
Lf(t)(s) = integral0^infty f(t),e^-s t ,dt

Passo 3

Aplicando essa definição em f(t)=cos(a,t), temos
I(s)=Lcos(a,t)(s)=integral0^infty cos(a,t),e^-s t ,dt

Passo 4

Para calcular I(s) usamos integração por partes duas vezes. O truque leva à relação
(s^2 + a^2),I(s)=s,
que resulta do cancelamento dos termos de fronteira (assumindo s>0) e da segunda integração por partes.

Passo 5

Isolando I(s) dessa relação, chegamos ao valor da transformada de Laplace de cos(a,t):
I(s)=ss^2 + a^2

Resposta

Lcos(a,t)(s)=ss^2 + a^2

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