Seja F(x)=ccc & & x^2+2 x & se & x<-1 x & se & -1 <= x <= 0 1ln (x) & & (3 x) & se & x>0
(d) Calcule lim x +infty F(x) (justifique)

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pede
limxto+inftyF(x)
Como +infty>0, para estudar esse limite usamos a ramo x>0 da definição.

Passo 2

Para x>0 temos
F(x)=1ln(x),(3x)=3xln(x)
Logo queremos
limxto+infty3xln(x)
Note que, quando xto+infty, o numerador e o denominador vão ambos para +infty, então é uma forma indeterminada tfracinftyinfty.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a x, obtemos
ddx(3x)=3, ddx[ln(x)]=1x
Pela regra de L’Hôpital,
limxto+infty3xln(x) =limxto+infty31/x =limxto+infty3x

Passo 4

Como limxto+infty3x=+infty, concluímos que
limxto+inftyF(x)=+infty

Resposta

+infty

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