Seja f(x)=x^2-4(x-1)^2
(a) Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de função f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=x^2-4(x-1)^2. Vamos usar limites e comparação de graus de polinômios para isso.

Passo 2

Para assíntota vertical, primeiro identificamos onde a função está indefinida: o denominador (x-1)^2 zera em x=1. Como o numerador x^2-4 em x=1 vale 1-4=-3neq0, existe assíntota vertical em x=1.

Passo 3

Agora confirmamos o comportamento em torno de x=1 pelo limite. Como (x-1)^2 tende a 0 positivo e o numerador tende a -3, temos
limxto1f(x)=limxto1-3+o(1)(x-1)^2=-infty
Isso reforça a assíntota vertical em x=1.

Passo 4

Para a assíntota horizontal, comparamos os graus do numerador e do denominador (ambos grau 2). A assimptota é dada pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau, ou seja, y=1/1=1. Confirmamos também pelo limite
limxtopminftyf(x)=1 .

Resposta

A assíntota vertical é x = 1 e a assíntota horizontal é y = 1.

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