Determine as transformadas de Laplace das funções dadas.
f(x)=x^{7}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(x)=x^{7}. O conteúdo aqui é o conceito de transformada de Laplace e a propriedade da integral que envolve fatoriais (relacionada à função Gama). Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}f(x)\,dx
e a fórmula
\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-ax}\,dx=\frac{n!}{a^{n+1}},
válida para a>0 e n inteiro não negativo.

Passo 2

Aplicando a definição à função f(x)=x^{7}, temos
\mathcal{L}\{x^{7}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-sx}\,x^{7}\,dx.

Passo 3

Reconhecemos a integral acima como um caso da fórmula com n=7 e a=s. Logo,
\int_{0}^{\infty}x^{7}e^{-sx}\,dx=\frac{7!}{s^{8}}.
Portanto,
\mathcal{L}\{x^{7}\}(s)=\frac{7!}{s^{8}}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{x^{7}\}(s)=\frac{5040}{s^{8}},\quad s>0.

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