1. (1.0 ponto) Seja f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}. Calcule:
    (a) f(2);
    (b) \frac{f(2+h)-f(2)}{\sqrt{i}}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}
e pede:
(a) calcular f(2);
(b) calcular
\frac{f(2+h)-f(2)}{\sqrt{i}}.
Vamos usar substituição direta para (a) e, em (b), fazer manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Para encontrar f(2), substituímos x=2 em \displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}:
f(2)=\frac{2+1}{2^{2}+1}=\frac{3}{4+1}=\frac{3}{5}.

Passo 3

Agora expressamos f(2+h) substituindo x=2+h:
f(2+h)=\frac{(2+h)+1}{(2+h)^{2}+1} =\frac{3+h}{(4+4h+h^{2})+1} =\frac{3+h}{5+4h+h^{2}}.

Passo 4

Calculamos a diferença f(2+h)-f(2) sobre o mesmo denominador comum:
f(2+h)-f(2) =\frac{3+h}{5+4h+h^{2}}-\frac{3}{5} =\frac{5(3+h)-3(5+4h+h^{2})}{5\,(5+4h+h^{2})}.
No numerador:
5(3+h)-3(5+4h+h^{2}) =15+5h-15-12h-3h^{2} =-7h-3h^{2} =-h(7+3h).
Logo,
f(2+h)-f(2) =\frac{-h(7+3h)}{5\,(5+4h+h^{2})}.

Passo 5

Finalmente, dividimos essa diferença por \sqrt{i}:
\frac{f(2+h)-f(2)}{\sqrt{i}} =\frac{-h(7+3h)}{5\,(5+4h+h^{2})\,\sqrt{i}}.

Resposta

(a) \displaystyle f(2)=\frac{3}{5}.
(b) \displaystyle \frac{f(2+h)-f(2)}{\sqrt{i}} =\frac{-h(7+3h)}{5\,(5+4h+h^{2})\,\sqrt{i}}.

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