Determine as transformadas de Laplace das funções dadas.
f(x)=\sqrt{x} e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(x)=\sqrt{x}\,e^{2x}.
O conteúdo aqui é aplicação da definição de transformada de Laplace e uso da função Gama. Vamos usar
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(x)\,e^{-s x}\,dx
e reconhecer um integral que gera a função Gama.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{\sqrt{x}\,e^{2x}\}(s) =\int_{0}^{\infty}\sqrt{x}\,e^{2x}\,e^{-s x}\,dx =\int_{0}^{\infty}x^{\tfrac12}e^{-(s-2)x}\,dx.
Para convergência precisamos de (s-2)>0, ou seja s>2.

Passo 3

O integral
\int_{0}^{\infty}x^{\tfrac12}e^{-(s-2)x}\,dx
é do tipo
\int_{0}^{\infty}x^{a}e^{-k x}\,dx =\frac{\Gamma(a+1)}{k^{\,a+1}},
com a=\tfrac12 e k=s-2. Logo
\int_{0}^{\infty}x^{\tfrac12}e^{-(s-2)x}\,dx =\frac{\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr)}{(s-2)^{\tfrac32}}.
Sabendo que \Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\sqrt{\pi}, temos

Passo 4

Substituindo \Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\sqrt{\pi}, obtemos
\mathcal{L}\{\sqrt{x}\,e^{2x}\}(s) =\frac{\tfrac12\sqrt{\pi}}{(s-2)^{\tfrac32}} =\frac{\sqrt{\pi}}{2\,(s-2)^{\tfrac32}},
válido para s>2.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{\sqrt{x}\,e^{2x}\}(s) =\frac{\sqrt{\pi}}{2\,(s-2)^{\tfrac32}},\quad s>2.}

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