Determine as transformadas de Laplace das funções dadas.
f(x)=e^{x} \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(x)=e^{x}\,\sin(2x).
O conteúdo é transformada de Laplace e a propriedade de descolamento no eixo s: multiplicar por e^{ax} equivale a substituir s por s-a.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(x)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s x}f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-s x}e^{x}\sin(2x)\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)x}\sin(2x)\,dx.

Passo 3

Usamos o resultado padrão
\int_{0}^{\infty}e^{-p x}\sin(bx)\,dx=\frac{b}{p^{2}+b^{2}},
válido para \Re(p)>0. Aqui p=s-1 e b=2. Logo
\mathcal{L}\{e^{x}\sin(2x)\}(s) =\frac{2}{(s-1)^{2}+2^{2}} =\frac{2}{(s-1)^{2}+4}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{e^{x}\sin(2x)\}(s)=\frac{2}{(s-1)^{2}+4}.}

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