Utilize transformadas de Laplace para resolver as equações diferenciais.
y^{\prime}+y=x e^{-x} ; \quad y(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'(x) + y(x) = x e^{-x},\qquad y(0) = -2
usando transformadas de Laplace. Para isso vamos precisar das propriedades
  1. \mathcal{L}\{y'(x)\}(s)=sY(s)-y(0),
  2. \mathcal{L}\{y(x)\}(s)=Y(s),
  3. \mathcal{L}\{x e^{-x}\}(s)=\tfrac{1}{(s+1)^2}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(x)+y(x)=x e^{-x}
obtemos
\mathcal{L}\{y'\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s) =\mathcal{L}\{x e^{-x}\}(s).
Como
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s)+2, \quad \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s), \quad \mathcal{L}\{x e^{-x}\}(s)=\frac{1}{(s+1)^2},
temos
sY(s)+2 + Y(s) = \frac{1}{(s+1)^2}.

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)\bigl(s+1\bigr) = \frac{1}{(s+1)^2} - 2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{(s+1)^3} \;-\;\frac{2}{s+1}.

Passo 4

Agora usamos a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^3}\bigr\}(x) =\frac{x^2}{2}e^{-x}, \quad \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{2}{s+1}\bigr\}(x) =2e^{-x}.
Portanto
y(x) =\frac{x^2}{2}e^{-x} \;-\;2e^{-x} =\Bigl(\frac{x^2}{2}-2\Bigr)e^{-x}.

Resposta

y(x)=\Bigl(\tfrac{x^2}{2}-2\Bigr)e^{-x}.

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