Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & 0 \leq t<1 \\\\ 1 & \text { se } & 1 \leq t \leq 2 \\\\ 0 & \text { se } & t>2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<1,\\\\ 1, & 1\le t\le 2,\\\\ 0, & t>2, \end{cases}
e pede a transformada de Laplace
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.
Como f(t) é nula fora do intervalo [1,2], basta calcular a integral nesse intervalo.

Passo 2

Usando a definição, temos
F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt =\int_{1}^{2}1\cdot e^{-st}\,dt =\int_{1}^{2}e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calculando a integral obtém-se
\int_{1}^{2}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{t=1}^{t=2} =-\tfrac{1}{s}\bigl(e^{-2s}-e^{-s}\bigr) =\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s}.

Resposta

F(s)=\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s}.

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