Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes:
e^{-t} \cos ^{2} t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \,f(t)=e^{-t}\cos^2 t. O conteúdo envolve a definição de transformada de Laplace, a propriedade de linearidade, identidades trigonométricas e a propriedade de deslocamento no domínio de s. Para resolver, vamos usar a identidade
\cos^2 t = \frac{1 + \cos(2t)}{2}
e a propriedade
\mathcal{L}\{e^{-a t}g(t)\}(s)=G(s+a).

Passo 2

Aplicando a identidade trigonométrica, escrevemos
\cos^2 t = \frac{1 + \cos(2t)}{2}.
Logo,
f(t)=e^{-t}\cos^2 t =\frac12\,e^{-t}+\frac12\,e^{-t}\cos(2t).

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac12\,\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s) +\frac12\,\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}(s).

Passo 4

Calculamos cada termo usando definição e deslocamento:
\displaystyle \mathcal{L}\{e^{-t}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{-t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\,dt =\frac{1}{s+1},
\displaystyle \mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}(s) =\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s+1) =\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2} =\frac{s+1}{(s+1)^2+4}.

Passo 5

Substituindo em \mathcal{L}\{f(t)\}, fica
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos^2 t\}(s) =\frac12\cdot\frac{1}{s+1} +\frac12\cdot\frac{s+1}{(s+1)^2+4}.
Colocando sobre denominador comum (s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr), chega-se a
\frac{(s+1)^2+2}{(s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr)}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-t}\cos^2 t\}(s) = \frac{1}{2(s+1)} + \frac{s+1}{2\bigl((s+1)^2+4\bigr)} = \frac{(s+1)^2+2}{(s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr)}.

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