Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes:
3 \operatorname{cosh} ^{2} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=3\operatorname{cosh}^{2}(2t),
onde a=2 na definição de \operatorname{cosh}. Vamos usar propriedades de funções hiperbólicas e tabelas de transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução para o quadrado do cosseno hiperbólico:
\operatorname{cosh}^{2}(x)=\frac{1+\operatorname{cosh}(2x)}{2}.

Passo 3

No nosso caso, x=2t. Logo
\operatorname{cosh}^{2}(2t)=\frac{1+\operatorname{cosh}(4t)}{2},
e portanto
f(t)=3\operatorname{cosh}^{2}(2t)=3\cdot\frac{1+\operatorname{cosh}(4t)}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\operatorname{cosh}(4t).

Passo 4

Usamos as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}.

Passo 5

Aplicando linearidade,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{3}{2}\,\mathcal{L}\{1\} +\frac{3}{2}\,\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(4t)\} =\frac{3}{2}\,\frac{1}{s} +\frac{3}{2}\,\frac{s}{s^{2}-16}.
Colocando em única fração,
F(s) =\frac{3}{2s}+\frac{3s}{2(s^{2}-16)} =\frac{3(s^{2}-16)+3s^{2}}{2s(s^{2}-16)} =\frac{6s^{2}-48}{2s(s^{2}-16)} =\frac{3(s^{2}-8)}{s\,(s^{2}-16)}.

Resposta

\mathcal{L}\{3\operatorname{cosh}^{2}(2t)\}(s) =\frac{3}{2s}+\frac{3s}{2(s^{2}-16)} =\frac{3\bigl(s^{2}-8\bigr)}{s\,(s^{2}-16)}.

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