Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes:
a+b t+c t^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=a + b\,t + c\,t^{2},
onde a, b e c são constantes. Para resolver, vamos usar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas conhecidas para \mathcal L\{t^{n}\}.

Passo 2

Aplicando a linearidade, temos
\mathcal L\{a + b\,t + c\,t^{2}\}(s) = a\,\mathcal L\{1\}(s)\;+\;b\,\mathcal L\{t\}(s)\;+\;c\,\mathcal L\{t^{2}\}(s).

Passo 3

Recordando as transformadas padrão:
\mathcal L\{1\}(s)=\frac{1}{s},\quad \mathcal L\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\quad \mathcal L\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}},
substituímos em (2) e obtemos
\mathcal L\{a + b\,t + c\,t^{2}\}(s) = a\;\frac{1}{s}\;+\;b\;\frac{1}{s^{2}}\;+\;c\;\frac{2}{s^{3}} =\frac{a}{s}+\frac{b}{s^{2}}+\frac{2\,c}{s^{3}}.

Resposta

\mathcal L\{a + b\,t + c\,t^{2}\}(s) =\frac{a}{s}+\frac{b}{s^{2}}+\frac{2\,c}{s^{3}}.

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