Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes:
e^{a t+b}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \displaystyle e^{a t+b}, onde a e b são constantes. O conteúdo é transformada de Laplace, e vamos usar sua definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt.

Passo 2

Aplicamos a definição com f(t)=e^{a t+b}:
\mathcal{L}\{e^{a t+b}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,e^{a t+b}\,dt.

Passo 3

Reescrevemos o integrando e usamos a linearidade para isolar e^{b}:
e^{-s t}\,e^{a t+b} =e^{b}\,e^{(a - s)\,t} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{e^{a t+b}\}(s) =e^{b}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)\,t}\,dt.

Passo 4

Sabendo que, para \Re(s)> \Re(a),
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)\,t}\,dt =\frac{1}{s-a},
obtemos
\mathcal{L}\{e^{a t+b}\}(s) =\frac{e^{b}}{s-a}, \quad \Re(s)>\Re(a).

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t+b}\}(s)=\frac{e^{b}}{s-a},\quad \Re(s)>\Re(a).

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