Uma empresa gravadora vende DVD’S para uma loja do varejo. Assumindo que, a distribuição probabilística das vendas do DVD em questão seja uniforme entre 1 e 100 unidades na
temporada, com probabilidade igual de venda para cada uma das quantidades e considerando que:
  • A gravadora venda seus DVD’S para a loja por \mathrm{R} \ 16,00 e que a loja os revenda por R\20,00 ao consumidor.
  • Os custos da gravadora para produzir um DVD são de \mathrm{R} \ 9,00$ e que os DVD’S não vendidos ao final da temporada não tem valor comercial algum para a loja

Responder:

7.1) Se a loja precisa enfrentar a decisão de uma quantidade ótima de forma a -simultaneamente - maximizar o lucro esperado e reduzir o custo da falta e do excesso, qual deve ser a quantidade de DVD’S a ser adquirida da gravadora: \qquad unidades
7.2) Complete as informações que julgar necessárias no quadro abaixo - para a hipótese de vendas de apenas 5 unidades- e então responda:
7.2.1) Qual será a probabilidade de venda ser superior a 5 unidades: \qquad unidades
7.2.2) Considerando-se o custo da falta e do excesso, qual será a contribuição esperada com a compra desse 5^{\circ} DVD? \qquad
7.2.3) Considerando-se o custo da falta e do excesso, qual será o lucro acumulado esperado para essa decisão de compra do 5^{\text {o }} DVD? \qquad
Vendas P(V) \mathrm{P}(\mathrm{V} \leq \mathrm{E}) P(V \geq E) Lucro Marginal Prejuízo Marginal Contribuição esperada com a compra do próximo DVD Lucro Esperado para diferentes quantidades de E

Passo 1

Resumindo: a demanda V é uniforme discreta em \{1,2,\dots,100\} com P(V=v)=\frac{1}{100}. A loja compra cada DVD por R$ 16,00 e vende por R$ 20,00; DVDs não vendidos valem zero no fim da temporada. Vamos usar o modelo clássico do “newsvendor” (ou “problema da cantina”) para achar a quantidade ótima E que equilibra custo de falta e de excesso.

Passo 2

Calculemos os custos marginais:
  • Custo de falta ( c_u): margem perdida quando falta um DVD c_u = p - c = 20 - 16 = 4.
  • Custo de excesso ( c_o): custo de sobra de um DVD não vendido c_o = c - s = 16 - 0 = 16.

Passo 3

No modelo do newsvendor, a fração crítica é
\frac{c_u}{c_u + c_o} = \frac{4}{4 + 16} = 0,2.
Como a distribuição é uniforme discreta, F(E)=P(V\le E)=E/100. Logo escolhemos E^* tal que
\frac{E^*}{100}=0,2\quad\Longrightarrow\quad E^*=20.

Passo 4

Para a hipótese de vendermos apenas 5 unidades, a probabilidade de a demanda ser superior a 5 é
P(V>5)=1-P(V\le5)=1-\frac{5}{100}=0,95.

Passo 5

A contribuição esperada (marginal) de comprar o 5º DVD é
4\cdot P(V\ge5)\;-\;16\cdot P(V<5) =4\cdot\frac{96}{100}-16\cdot\frac{4}{100} =3,84-0,64=3,20.

Passo 6

O lucro esperado ao comprar E=5 DVDs é a soma das contribuições marginais dos 1º ao 5º:
\sum_{k=1}^{5}\Bigl[4\,P(V\ge k)-16\,P(V<k)\Bigr] =4+3{,}8+3{,}6+3{,}4+3{,}2=18.

Resposta

7.1 20 unidades
7.2.1 0,957. 2 7.2.2 R$ 3,207. 2 7.2.3 R$ 18,00

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