Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes:
4 t^{3}+t^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=4\,t^{3}+t^{2},
usando a definição e a propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Também vamos usar a fórmula conhecida
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},
válida para n inteiro não negativo e \Re(s)>0.

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, temos
\mathcal{L}\{4\,t^{3}+t^{2}\}(s) =4\,\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)+\mathcal{L}\{t^{2}\}(s).

Passo 3

Aplicando a fórmula \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}}:
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s) =\frac{3!}{s^{4}} =\frac{6}{s^{4}},
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s) =\frac{2!}{s^{3}} =\frac{2}{s^{3}}.
Logo,
\mathcal{L}\{4\,t^{3}+t^{2}\}(s) =4\cdot\frac{6}{s^{4}}+\frac{2}{s^{3}} =\frac{24}{s^{4}}+\frac{2}{s^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{4\,t^{3}+t^{2}\}(s) =\frac{24}{s^{4}}+\frac{2}{s^{3}}.

Exercícios relacionados