Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes:
2 \operatorname{cosh} 4 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função 2\operatorname{cosh}(4t). O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
e a propriedade de linearidade, além de conhecermos a transformada de funções exponenciais.

Passo 2

Recordando que
\operatorname{cosh}(at)=\frac{e^{at}+e^{-at}}{2},
temos, pela definição e linearidade,
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\} =\frac{1}{2}\Bigl(\mathcal{L}\{e^{at}\}+\mathcal{L}\{e^{-at}\}\Bigr) =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\Bigr) =\frac{s}{s^2-a^2},
válido para \Re(s)>|a|.

Passo 3

Aplicando a linearidade para 2\operatorname{cosh}(4t) e tomando a=4, obtemos
\mathcal{L}\{2\operatorname{cosh}(4t)\} =2\,\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(4t)\} =2\cdot\frac{s}{s^2-16},
com região de convergência \Re(s)>4.

Resposta

\mathcal{L}\{2\operatorname{cosh}(4t)\}(s)=\frac{2s}{s^2-16},\quad \Re(s)>4.

Exercícios relacionados