Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes:
\operatorname{sen}^{2} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \sin^2(2t). Vamos usar a definição de transformada de Laplace e uma identidade trigonométrica que simplifica o quadrado do seno.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
com x = 2t, obtendo
\sin^2(2t) = \frac{1 - \cos(4t)}{2}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{\sin^2(2t)\} = \frac12\bigl(\mathcal{L}\{1\} - \mathcal{L}\{\cos(4t)\}\bigr).
Sabemos que
\mathcal{L}\{1\} = \frac1s \quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{\cos(4t)\} = \frac{s}{s^2 + 16}.
Logo
\mathcal{L}\{\sin^2(2t)\} = \frac12\Bigl(\frac1s - \frac{s}{s^2+16}\Bigr).

Passo 4

Colocando sobre o mesmo denominador e simplificando, temos
\frac12\Bigl(\frac1s - \frac{s}{s^2+16}\Bigr) = \frac{(s^2+16)-s^2}{2\,s\,(s^2+16)} = \frac{16}{2\,s\,(s^2+16)} = \frac{8}{s\,(s^2+16)}.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin^2(2t)\} = \frac{8}{s\,(s^2+16)}.

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