Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes:
e^{-2 t} \cos t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \mathrm e^{-2t}\cos t. Para isso vamos usar a definição da transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento na variável s.

Passo 2

Recordemos que a transformada de Laplace de \cos t é
\mathcal{L}\{\cos t\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos t\,dt =\frac{s}{s^2+1}.
Denotemos essa função por
F(s)=\frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

A propriedade de deslocamento afirma que, se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
Aqui temos a=-2 e f(t)=\cos t, logo
\mathcal{L}\{\mathrm e^{-2t}\cos t\} =F(s-(-2)) =F(s+2) =\frac{s+2}{(s+2)^2+1}.

Resposta

\frac{s+2}{(s+2)^2+1}.

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