Determine a trasnformação linear e a matriz (nas bases canônicas) assosciada a:
No plano, uma rotação horaria de 90^circ seguida por uma reflexão em torno da origem.

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear T:R^2toR^2 que é dada pela composição de duas operações no plano:
1) uma rotação horária de 90^circ, e
2) em seguida, uma reflexão em torno da origem.
Para resolver, vamos escrever a matriz (na base canônica) de cada operação e depois compô-las, pois a composição de transformações lineares corresponde ao produto de suas matrizes.

Passo 2

A rotação horária de 90^circ é o mesmo que rotação de ângulo -90^circ. Na base canônica e1,e2, sua matriz é
R = cos(-90^circ) & -sin(-90^circ) sin(-90^circ) & cos(-90^circ) = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

A reflexão em torno da origem envia cada vetor (x,y) para (-x,-y). É simplesmente a multiplicação por -1. Sua matriz na base canônica é
S = -I = -1 & 0 0 & -1

Passo 4

A transformação T é feita primeiro por R e em seguida por S. Logo, a matriz de T é
M = S,R = -1 & 0 0 & -1 0 & 1 -1 & 0 = 0 & -1 1 & 0

Passo 5

Interpretando , vemos que para qualquer ,
Isto é, a composição equivale a uma rotação contrária ao relógio de .

Resposta

A matriz de T na base canônica é
0 & -1 1 & 0 ,
e a transformação age por
T(x,y)=(-y,;x)

Exercícios relacionados