Mostre que as matrizes dadas são linha-equivalentes e encontre uma sequência de operações elementares com as linhas que convertem A em B.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
A=1 & 23 & 4 e B=3 & -11 & 0
são linha-equivalentes, ou seja, existe uma sequência de operações elementares sobre as linhas de A que transforma A em B. As operações elementares permitidas são:
trocar duas linhas,
multiplicar uma linha por uma constante não-nula,
adicionar a uma linha um múltiplo de outra.
Passo 2
Primeiro vamos levar A à matriz identidade I2 usando eliminação de Gauss:
R2 R2 - 3R1
1 & 23 & 4 longrightarrow 1 & 20 & -2
R2 -tfrac12,R2
1 & 20 & -2 longrightarrow 1 & 20 & 1
R1 R1 - 2R2
1 & 20 & 1 longrightarrow 1 & 00 & 1 = I2
Passo 3
Agora levamos I2 em B invertendo operações que reduzem B a I2. Observamos que, a partir de ;B=3 & -11 & 0,
poderíamos fazer
R1 R1-3R2,
trocar R1rightarrow R2,
R2 -R2,
para chegar a I2.
Invertendo essas etapas, de I2 a B:
R2 -R2
1 & 00 & 1 longrightarrow 1 & 00 & -1
trocar R1rightarrow R2
1 & 00 & -1 longrightarrow 0 & -11 & 0
R1 R1 + 3R2
0 & -11 & 0 longrightarrow 3 & -11 & 0 = B
Passo 4
Juntando as operações dos Passos 2 e 3, obtemos uma sequência de operações elementares que leva A em B. Portanto A e B são linha-equivalentes.
Resposta
A sequência de operações sobre as linhas de A que converte A em B é: