Determine três números positivos cuja soma é 24 , e o produto deles seja o menor possível.

Passo 1

O enunciado pede três números positivos x,y,z tais que
x+y+z=24
e cujo produto
P=xyz
seja o menor possível. O conteúdo é otimização de função com restrição e vamos usar o método de Lagrange para encontrar extremos internos e depois analisar a fronteira do domínio (quando alguma das variáveis se aproxima de zero).

Passo 2

Aplicamos o método de Lagrange ao problema
\min_{x,y,z>0}\;f(x,y,z)=xyz \quad\text{sujeito a}\quad g(x,y,z)=x+y+z-24=0.
Escrevemos o sistema
\nabla f = \lambda\,\nabla g \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} yz = \lambda,\\\ xz = \lambda,\\\ xy = \lambda,\\\ x+y+z=24. \end{cases}
Das três primeiras equações obtemos yz=xz=xy. Como x,y,z>0, podemos dividir e concluir que
x=y=z.

Passo 3

Substituindo x=y=z na condição x+y+z=24, vem
3x=24 \quad\Longrightarrow\quad x=y=z=8.
Esse ponto crítico existe e, por AM–GM, sabemos que para soma fixa o produto é máximo quando as variáveis são iguais. De fato
xyz \le \Bigl(\frac{x+y+z}{3}\Bigr)^3 = 8^3 = 512,
com igualdade em x=y=z=8. Logo esse ponto é máximo, não mínimo.

Passo 4

Para investigar mínimo, examinamos a fronteira do domínio de x,y,z>0. Se uma das variáveis, digamos x, tende a zero, e y+z tende a 24, então
P = xyz \;\longrightarrow\; 0\quad\text{quando }x\to0^+.
Como podemos fazer x arbitrariamente pequeno (mantendo y>0, z>0 e y+z=24-x), o produto P fica tão pequeno quanto quisermos, aproximando-se de zero.

Resposta

Não existe um mínimo estrito para xyz com x,y,z>0 e x+y+z=24. O infimum do produto é zero, obtido na fronteira quando uma das variáveis tende a zero.

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