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Considere a seguinte equação diferencial:
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0, \quad x>0
(a) Verifique se é uma equação de Euler-Cauchy.
(b) Resolva a equação utilizando a substituição y=x^{m}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^{2}y'' - 3x\,y' + 4y = 0,\quad x>0
e pede (a) verificar se é uma equação de Euler–Cauchy e (b) resolvê-la usando a substituição y=x^{m}. Para isso precisamos lembrar que uma equação é do tipo Euler–Cauchy quando os coeficientes de y'', y' e y são, respectivamente, proporcionais a x^2, x e x^0.

Passo 2

Comparando com a forma geral de Euler–Cauchy
a\,x^{2}y'' + b\,x\,y' + c\,y = 0,
vemos que aqui a=1, b=-3 e c=4. Logo os coeficientes vêm como x^2, x e termo independente, ou seja, é mesmo uma equação de Euler–Cauchy.

Passo 3

Para usar a substituição y=x^{m}, calculamos suas derivadas:
y = x^{m},\quad y' = m\,x^{m-1},\quad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.

Passo 4

Substituindo em
x^{2}y'' - 3x\,y' + 4y = 0
temos
x^2\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] -3x\bigl[mx^{m-1}\bigr] +4\bigl[x^m\bigr]=0.
Isso é
m(m-1)x^m -3m\,x^m +4x^m = 0
e, fatorando x^m\neq0, obtemos a equação característica
m(m-1) -3m +4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2 -4m +4 = 0.

Passo 5

Resolvendo
m^2 -4m +4 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 -4\cdot1\cdot4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 -16}}{2} = \frac{4}{2} =2.
É raiz dupla: m_1=m_2=2.

Passo 6

Para raiz dupla m=2, a solução geral da Euler–Cauchy é
y = C_1\,x^{m} + C_2\,x^{m}\ln(x) = C_1\,x^{2} + C_2\,x^{2}\ln(x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A equação é de Euler–Cauchy e sua solução geral é
y(x) = C_{1}\,x^{2} + C_{2}\,x^{2}\ln(x).

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