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Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Verifique se é uma equação de Euler-Cauchy.
(b) Resolva a equação utilizando a substituição
.
(b) Resolva a equação utilizando a substituição
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede (a) verificar se é uma equação de Euler–Cauchy e (b) resolvê-la usando a substituição
. Para isso precisamos lembrar que uma equação é do tipo Euler–Cauchy quando os coeficientes de
,
e
são, respectivamente, proporcionais a
,
e
.
Passo 2
Comparando com a forma geral de Euler–Cauchy
vemos que aqui
,
e
. Logo os coeficientes vêm como
,
e termo independente, ou seja, é mesmo uma equação de Euler–Cauchy.
Passo 3
Para usar a substituição
, calculamos suas derivadas:
Passo 4
Substituindo em
temos
Isso é
e, fatorando
, obtemos a equação característica
Passo 5
Resolvendo
usamos a fórmula de Bhaskara:
É raiz dupla:
.
Passo 6
Para raiz dupla
, a solução geral da Euler–Cauchy é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A equação é de Euler–Cauchy e sua solução geral é