Resolva a equação diferencial não homogênea abaixo:
y^{\prime \prime}+y=\cos (2 x)
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Utilize o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação completa.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + y = \cos(2x)
(em que y'' é a derivada segunda de y em relação a x).
O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo.
Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea associada, depois usamos o método da variação de parâmetros para obter a solução completa.
Passo 2
A equação homogênea associada é
y'' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cuja raízes são r = \pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
No método da variação de parâmetros escolhemos duas soluções fundamentais da homogênea: