Resolva a equação diferencial não homogênea abaixo:
y^{\prime \prime}+y=\cos (2 x)
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Utilize o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação completa.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + y = \cos(2x)
(em que y'' é a derivada segunda de y em relação a x).
O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo.
Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea associada, depois usamos o método da variação de parâmetros para obter a solução completa.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cuja raízes são r = \pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

No método da variação de parâmetros escolhemos duas soluções fundamentais da homogênea:
y_1(x) = \cos(x), \quad y_2(x) = \sin(x).
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos(x) & \sin(x)\\\\ -\sin(x) & \cos(x) \end{vmatrix} = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.
As fórmulas para os coeficientes variáveis são
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,f(x)}{W} \quad\text{e}\quad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,f(x)}{W},
onde f(x)=\cos(2x).]

Passo 4

Calculamos primeiro u_1' e u_2':
u_1'(x) = -\sin(x)\,\cos(2x), \quad u_2'(x) = \cos(x)\,\cos(2x).
Integramos cada um:
Para u_1:
\sin(x)\cos(2x) =\tfrac12\bigl[\sin(3x)-\sin(x)\bigr],
u_1(x) = -\int \sin(x)\cos(2x)\,dx =-\tfrac12\int\bigl[\sin(3x)-\sin(x)\bigr]dx =-\tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)+\cos(x)\Bigr) =\tfrac{1}{6}\cos(3x)-\tfrac12\cos(x).
Para u_2:
\cos(x)\cos(2x) =\tfrac12\bigl[\cos(3x)+\cos(x)\bigr],
u_2(x) = \int \cos(x)\cos(2x)\,dx =\tfrac12\int\bigl[\cos(3x)+\cos(x)\bigr]dx =\tfrac12\Bigl(\tfrac{1}{3}\sin(3x)+\sin(x)\Bigr) =\tfrac{1}{6}\sin(3x)+\tfrac12\sin(x).

Passo 5

A solução particular é
y_p = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x).
Substituindo:
y_p =\Bigl(\tfrac{1}{6}\cos(3x)-\tfrac12\cos(x)\Bigr)\cos(x) +\Bigl(\tfrac{1}{6}\sin(3x)+\tfrac12\sin(x)\Bigr)\sin(x).
Usando identidades trigonométricas, chega-se a
y_p(x) = -\tfrac{1}{3}\cos(2x).

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma de y_h com y_p:
y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \tfrac{1}{3}\cos(2x).

Resposta

(a) \;y_h(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x).
(b) \;y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \tfrac{1}{3}\cos(2x).

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