Resolva o sistema não homogêneo abaixo usando o método de variação dos parâmetros:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x+2 y+e^{t} \\\ y^{\prime}=3 x+2 y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
\begin{cases} x'=x+2y+e^t,\\\ y'=3x+2y, \end{cases}
pelo método da variação de parâmetros. O conteúdo envolve:
  1. Resolver o sistema homogêneo associado X'=A\,X.
  2. Construir a matriz fundamental \Phi(t).
  3. Calcular
X_p(t)=\Phi(t)\,\int \Phi(t)^{-1}f(t)\,dt,
onde f(t)=(e^t,0)^T.

Passo 2

Resolvendo o sistema homogêneo X'=A\,X com
A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&2\end{pmatrix},
a equação característica é
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(2-\lambda)-6 =\lambda^2-3\lambda-4=0,
cuja raízes são \lambda_1=4 e \lambda_2=-1.
Para \lambda_1=4, um autovetor é
v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix},
e para \lambda_2=-1, um autovetor é
v_2=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz fundamental \Phi(t) cujas colunas são as soluções fundamentais é
\Phi(t) =\bigl[\,e^{4t}v_1\;\;\;e^{-t}v_2\bigr] =\begin{pmatrix} 2e^{4t}&e^{-t}\\\\ 3e^{4t}&-e^{-t} \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos \Phi(t)^{-1}. O determinante é
\det\Phi(t) =2e^{4t}\cdot(-e^{-t})-3e^{4t}\cdot e^{-t} =-5e^{3t}.
Logo
\Phi(t)^{-1} =\frac1{-5e^{3t}} \begin{pmatrix} -\,e^{-t}&-\,e^{-t}\\\\ -\,3e^{4t}&2e^{4t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{e^{-4t}}5&\tfrac{e^{-4t}}5\\[6pt] \tfrac{3e^t}5&-\tfrac{2e^t}5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Formamos o produto \Phi^{-1}(t)f(t) com f(t)=(e^t,0)^T:
\Phi^{-1}(t)\,f(t) =\begin{pmatrix} \tfrac{e^{-4t}}5&\tfrac{e^{-4t}}5\\[4pt] \tfrac{3e^t}5&-\tfrac{2e^t}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^t\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{e^{-3t}}5\\[4pt] \tfrac{3e^{2t}}5 \end{pmatrix}.
Integramos termo a termo:
\int \Phi^{-1}(t)f(t)\,dt = \begin{pmatrix} \displaystyle\int \tfrac{e^{-3t}}5\,dt\\[8pt] \displaystyle\int \tfrac{3e^{2t}}5\,dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac1{15}e^{-3t}\\[6pt] \tfrac{3}{10}e^{2t} \end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução particular é
X_p(t) =\Phi(t)\, \begin{pmatrix} -\tfrac1{15}e^{-3t}\\[4pt] \tfrac{3}{10}e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{6}e^t\\[6pt] -\dfrac{1}{2}e^t \end{pmatrix}.]

Passo 7

Finalmente, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =c_1e^{4t} \begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} +c_2e^{-t} \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \tfrac{1}{6}e^t\\[4pt] -\tfrac{1}{2}e^t \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle x(t)=2C_1e^{4t}+C_2e^{-t}+\tfrac{1}{6}e^t,\quad y(t)=3C_1e^{4t}-C_2e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^t.

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