determine se os três pontos A(4,2,-1), B(2,1,1), C(0,0,2) estão em uma mesma reta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se os três pontos estão em uma mesma reta. Os pontos dados são:
A(4,2,-1),\quad B(2,1,1),\quad C(0,0,2).
Lista de informações relevantes que temos: as coordenadas de A, B e C. A pergunta é: esses três pontos são colineares (isto é, estão todos numa mesma reta)?
Passo 2
Estratégia básica que vamos usar (explicação didática): em \mathbb{R}^3, três pontos A,B,C são colineares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos (um é múltiplo escalar do outro). Para verificar isso podemos:
calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} e ver se existe um escalar k tal que \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}, ou
calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}; se for o vetor nulo então são paralelos, se não for nulo então não são paralelos.
Vou fazer as duas verificações (primeiro tentativa de múltiplo escalar, depois produto vetorial como confirmação).
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} a partir das coordenadas: subtraímos coordenadas do ponto inicial A das coordenadas dos pontos B e C.
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-4,\;1-2,\;1-(-1)),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-4,\;0-2,\;2-(-1)).
Passo 4
Avaliar as componentes numéricas dos vetores:
\overrightarrow{AB}=(-2,\,-1,\,2),
\overrightarrow{AC}=(-4,\,-2,\,3).
Passo 5
Tentativa de ver se existe k tal que \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}. Igualando componente a componente:
pela primeira componente: -4=k\cdot(-2) dá k=2.
pela segunda componente: -2=k\cdot(-1) com k=2 dá -2=2\cdot(-1), ou seja -2=-2 (ok).
pela terceira componente: 3=k\cdot 2 com k=2 daria 3=4, o que é falso.
Como as três componentes não são coerentes com um mesmo escalar k, concluímos que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares um do outro — já indica que os vetores não são paralelos e, portanto, os pontos não são colineares.
Passo 6
Verificação por produto vetorial (confirmação e reforço didático): se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} fossem paralelos, o produto vetorial seria o vetor nulo. Vamos calcular
Conclusão lógica: o produto vetorial não é o vetor nulo e a tentativa de encontrar um escalar k que transforme \overrightarrow{AB} em \overrightarrow{AC} falhou na terceira componente. Ambos os argumentos mostram que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos, portanto os pontos A, B e C não estão em uma mesma reta.
Resposta
Não — os pontos A(4,2,-1), B(2,1,1) e C(0,0,2) não estão em uma mesma reta.