determine se os três pontos A(4,2,-1), B(2,1,1), C(0,0,2) estão em uma mesma reta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os três pontos estão em uma mesma reta. Os pontos dados são:
A(4,2,-1),\quad B(2,1,1),\quad C(0,0,2).
Lista de informações relevantes que temos: as coordenadas de A, B e C. A pergunta é: esses três pontos são colineares (isto é, estão todos numa mesma reta)?

Passo 2

Estratégia básica que vamos usar (explicação didática): em \mathbb{R}^3, três pontos A,B,C são colineares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos (um é múltiplo escalar do outro). Para verificar isso podemos:
  • calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} e ver se existe um escalar k tal que \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}, ou
  • calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}; se for o vetor nulo então são paralelos, se não for nulo então não são paralelos.
Vou fazer as duas verificações (primeiro tentativa de múltiplo escalar, depois produto vetorial como confirmação).

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} a partir das coordenadas: subtraímos coordenadas do ponto inicial A das coordenadas dos pontos B e C.
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-4,\;1-2,\;1-(-1)),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-4,\;0-2,\;2-(-1)).

Passo 4

Avaliar as componentes numéricas dos vetores:
\overrightarrow{AB}=(-2,\,-1,\,2),
\overrightarrow{AC}=(-4,\,-2,\,3).

Passo 5

Tentativa de ver se existe k tal que \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}. Igualando componente a componente:
pela primeira componente: -4=k\cdot(-2) k=2.
pela segunda componente: -2=k\cdot(-1) com k=2 -2=2\cdot(-1), ou seja -2=-2 (ok).
pela terceira componente: 3=k\cdot 2 com k=2 daria 3=4, o que é falso.
Como as três componentes não são coerentes com um mesmo escalar k, concluímos que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares um do outro — já indica que os vetores não são paralelos e, portanto, os pontos não são colineares.

Passo 6

Verificação por produto vetorial (confirmação e reforço didático): se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} fossem paralelos, o produto vetorial seria o vetor nulo. Vamos calcular
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & -1 & 2 \\\\ -4 & -2 & 3 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
para \mathbf{i}: (-1)\cdot 3 - 2\cdot(-2) = -3 - (-4)=1,
para \mathbf{j}: -\big((-2)\cdot 3 - 2\cdot(-4)\big) = -(-6 - (-8)) = -2,
para \mathbf{k}: (-2)\cdot(-2) - (-1)\cdot(-4) = 4 - 4 = 0.
Logo
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,\,-2,\,0),
que é um vetor diferente do vetor nulo.

Passo 7

Conclusão lógica: o produto vetorial não é o vetor nulo e a tentativa de encontrar um escalar k que transforme \overrightarrow{AB} em \overrightarrow{AC} falhou na terceira componente. Ambos os argumentos mostram que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos, portanto os pontos A, B e C não estão em uma mesma reta.

Resposta

Não — os pontos A(4,2,-1), B(2,1,1) e C(0,0,2) não estão em uma mesma reta.

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