Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a torção e as componentes tangencial e normal da aceleração em um ponto qualquer das curvas abaixo.
;
Passo 1
O enunciado dá a curva espacial
e pede, para um ponto qualquer (i.e., para variável
genérica):
- o triedro de Frenet (vetores unitários
), - a curvatura
, - o raio de curvatura
, - o centro de curvatura,
- a torção
, - as componentes tangencial e normal da aceleração (escalar e vetorial).
Informações úteis que teremos que calcular (vou usá-las diretamente): derivadas da curva
; norma de
; produto vetorial e produto misto para curvatura e torção; fórmulas padrão:
onde
é o produto misto (determinante cujas colunas são
).
As componentes escalares da aceleração são
As componentes escalares da aceleração são
e a aceleração se decompõe em
.
Passo 2
Calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras (passo base para tudo).
Passo 3
Calcular a velocidade (norma de
) e o vetor tangente unitário
.
Primeiro :
Primeiro
Logo
O vetor tangente unitário é
(Explicação curta: divide-se cada componente de
pela norma; note a simplificação comum
.)
Passo 4
Calcular a curvatura
. Usamos
.
Calcule o produto vetorial (aproveitando fatorizações):
A norma desse vetor é
A norma
. Portanto
O raio de curvatura é
Passo 5
Calcular o binormal
e o normal principal
.
O binormal unitário é
O normal unitário
obtém-se por
. Fazendo o produto cruz com as expressões acima (os termos do tipo
simplificam bastante) obtemos, após simplificação:
(Verificação rápida:
e
é ortogonal a
.)
Portanto o triedro de Frenet em
é formado por
Passo 6
Calcular o centro de curvatura
.
Usando
e
, tem-se
Somando com
obtemos (simplificando termo a termo):
Passo 7
Calcular a torção
. Fórmula:
Calcula-se o produto misto: com os vetores encontrados obtém-se o valor constante
E
. Assim
Observação interessante: para esta curva
.
Passo 8
Componentes tangencial e normal da aceleração.
A aceleração é
. As componentes escalares são
Calculando:
E
As componentes vetoriais são então
Verificação:
.