Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a torção e as componentes tangencial e normal da aceleração em um ponto qualquer das curvas abaixo.
\alpha(t)=\left(3 t-t^{3}, 3 t^{2}, 3 t+t^{3}\right);

Passo 1

O enunciado dá a curva espacial
\alpha(t)=\bigl(3t-t^{3},\;3t^{2},\;3t+t^{3}\bigr)
e pede, para um ponto qualquer (i.e., para variável t genérica):
  • o triedro de Frenet (vetores unitários \,T,N,B),
  • a curvatura \kappa,
  • o raio de curvatura \rho,
  • o centro de curvatura,
  • a torção \tau,
  • as componentes tangencial e normal da aceleração (escalar e vetorial).
Informações úteis que teremos que calcular (vou usá-las diretamente): derivadas da curva \alpha'(t),\alpha''(t),\alpha'''(t); norma de \alpha'(t); produto vetorial e produto misto para curvatura e torção; fórmulas padrão:
T=\frac{\alpha'}{\|\alpha'\|},\qquad B=\frac{\alpha'\times\alpha''}{\|\alpha'\times\alpha''\|},\qquad N=B\times T,
\kappa=\frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^{3}},\qquad \rho=\frac{1}{\kappa},\qquad \text{centro de curvatura }C=\alpha+\rho\,N,
\tau=\frac{(\alpha',\alpha'',\alpha''')}{\|\alpha'\times\alpha''\|^{2}},
onde (\alpha',\alpha'',\alpha''') é o produto misto (determinante cujas colunas são \alpha',\alpha'',\alpha''').
As componentes escalares da aceleração são
a_T=\frac{\alpha'\cdot\alpha''}{\|\alpha'\|},\qquad a_N=\kappa\|\alpha'\|^{2},
e a aceleração se decompõe em \alpha'' = a_T\,T + a_N\,N.

Passo 2

Calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras (passo base para tudo).
\alpha'(t)=\bigl(3-3t^{2},\;6t,\;3+3t^{2}\bigr)=3\bigl(1-t^{2},\;2t,\;1+t^{2}\bigr).
\alpha''(t)=\bigl(-6t,\;6,\;6t\bigr)=6\bigl(-t,\;1,\;t\bigr).
\alpha'''(t)=\bigl(-6,\;0,\;6\bigr)=6\bigl(-1,\;0,\;1\bigr).

Passo 3

Calcular a velocidade (norma de \alpha') e o vetor tangente unitário T.
Primeiro \|\alpha'(t)\|^{2}:
\|\alpha'\|^{2}=9\Bigl((1-t^{2})^{2}+(2t)^{2}+(1+t^{2})^{2}\Bigr) =9\cdot 2(1+t^{2})^{2}=18(1+t^{2})^{2}.
Logo
\|\alpha'(t)\|=3\sqrt{2}\,(1+t^{2}).
O vetor tangente unitário é
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;\frac{2t}{1+t^{2}},\;1\Bigr).
(Explicação curta: divide-se cada componente de \alpha' pela norma; note a simplificação comum 1+t^{2}.)

Passo 4

Calcular a curvatura \kappa. Usamos \kappa=\dfrac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^{3}}.
Calcule o produto vetorial (aproveitando fatorizações):
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=18\,( -(1-t^{2}),\;-2t,\;1+t^{2} ).
A norma desse vetor é
\|\alpha'\times\alpha''\|=18\sqrt{2}\,(1+t^{2}).
A norma \|\alpha'\|^{3}=(3\sqrt{2}(1+t^{2}))^{3}=54\sqrt{2}\,(1+t^{2})^{3}. Portanto
\kappa(t)=\frac{18\sqrt{2}\,(1+t^{2})}{54\sqrt{2}\,(1+t^{2})^{3}} =\frac{1}{3(1+t^{2})^{2}}.
O raio de curvatura é
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=3(1+t^{2})^{2}.

Passo 5

Calcular o binormal B e o normal principal N.
O binormal unitário é
B(t)=\frac{\alpha'\times\alpha''}{\|\alpha'\times\alpha''\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\frac{-(1-t^{2})}{1+t^{2}},\;\frac{-2t}{1+t^{2}},\;1\Bigr).
O normal unitário N obtém-se por N=B\times T. Fazendo o produto cruz com as expressões acima (os termos do tipo (\cdot,\cdot,1) simplificam bastante) obtemos, após simplificação:
N(t)=\Bigl(\frac{-2t}{1+t^{2}},\;\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;0\Bigr).
(Verificação rápida: \|N\|=1 e N é ortogonal a T.)
Portanto o triedro de Frenet em t é formado por
T(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;\frac{2t}{1+t^{2}},\;1\Bigr),
N(t)=\Bigl(\frac{-2t}{1+t^{2}},\;\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;0\Bigr),
B(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\frac{-(1-t^{2})}{1+t^{2}},\;\frac{-2t}{1+t^{2}},\;1\Bigr).

Passo 6

Calcular o centro de curvatura C(t)=\alpha(t)+\rho(t)\,N(t).
Usando \rho(t)=3(1+t^{2})^{2} e N(t)=\bigl(\tfrac{-2t}{1+t^{2}},\tfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}},0\bigr), tem-se
\rho(t)N(t)=3(1+t^{2})\bigl(-2t,\;1-t^{2},\;0\bigr).
Somando com \alpha(t) obtemos (simplificando termo a termo):
C(t)=\bigl(-3t-7t^{3},\;3+3t^{2}-3t^{4},\;3t+t^{3}\bigr).

Passo 7

Calcular a torção \tau. Fórmula:
\tau(t)=\frac{(\alpha'(t),\alpha''(t),\alpha'''(t))}{\|\alpha'\times\alpha''\|^{2}}.
Calcula-se o produto misto: com os vetores encontrados obtém-se o valor constante
(\alpha',\alpha'',\alpha''')=216.
E \|\alpha'\times\alpha''\|^{2}=\bigl(18\sqrt{2}(1+t^{2})\bigr)^{2}=648(1+t^{2})^{2}. Assim
\tau(t)=\frac{216}{648(1+t^{2})^{2}}=\frac{1}{3(1+t^{2})^{2}}.
Observação interessante: para esta curva \tau(t)=\kappa(t).

Passo 8

Componentes tangencial e normal da aceleração.
A aceleração é \alpha''(t)=6(-t,1,t). As componentes escalares são
a_T(t)=\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\|\alpha'(t)\|} \quad\text{e}\quad a_N(t)=\kappa(t)\,\|\alpha'(t)\|^{2}.
Calculando:
\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)=36\,t(1+t^{2}),
\|\alpha'(t)\|=3\sqrt{2}(1+t^{2})\quad\Rightarrow\quad a_T(t)=\frac{36t(1+t^{2})}{3\sqrt{2}(1+t^{2})}=6\sqrt{2}\,t.
E
a_N(t)=\kappa(t)\,\|\alpha'(t)\|^{2} =\frac{1}{3(1+t^{2})^{2}}\cdot 18(1+t^{2})^{2}=6.
As componentes vetoriais são então
a_T(t)T(t)=6\sqrt{2}\,t\;T(t), \qquad a_N(t)N(t)=6\;N(t).
Verificação: 6\sqrt{2}\,t\,T(t)+6\,N(t)=\alpha''(t)=6(-t,1,t).

Resposta

T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;\dfrac{2t}{1+t^{2}},\;1\Bigr)
N(t)=\Bigl(\dfrac{-2t}{1+t^{2}},\;\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;0\Bigr)
B(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\dfrac{-(1-t^{2})}{1+t^{2}},\;\dfrac{-2t}{1+t^{2}},\;1\Bigr)
\kappa(t)=\dfrac{1}{3(1+t^{2})^{2}}
\rho(t)=3(1+t^{2})^{2}
C(t)=\bigl(-3t-7t^{3},\;3+3t^{2}-3t^{4},\;3t+t^{3}\bigr)
\tau(t)=\dfrac{1}{3(1+t^{2})^{2}}
a_{T}(t)=6\sqrt{2}\,t
a_{N}(t)=6
a_{T}(t)T(t)=6\sqrt{2}\,t\,T(t),\quad a_{N}(t)N(t)=6\,N(t)

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